फलन $\frac{\cos x}{1+\cos x}$ का समाकलन ज्ञात कीजिए।

हमें समाकलन $I = \int \frac{\cos x}{1+\cos x} dx$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,हम समाकल्य को सरल करते हैं:
$\frac{\cos x}{1+\cos x} = \frac{\cos x + 1 - 1}{1+\cos x} = 1 - \frac{1}{1+\cos x}$.
सर्वसमिका $1+\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 - \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}} = 1 - \frac{1}{2}\sec^2 \frac{x}{2}$.
अब,पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = \int (1 - \frac{1}{2}\sec^2 \frac{x}{2}) dx = \int 1 dx - \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} dx$.
$= x - \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan \frac{x}{2}}{\frac{1}{2}} + C$.
$= x - \tan \frac{x}{2} + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।